شرحدرسالأعدادالمركبة(ComplexNumbers)
الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضيات،حيثتمثلامتدادًاللأعدادالحقيقيةوتستخدمفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فيهذاالدرس،سنتعرفعلىتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةإجراءالعملياتالحسابيةعليها.شرحدرسالأعدادالمركبة
1.تعريفالعددالمركب
العددالمركبهوعدديمكنكتابتهعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aوbأعدادحقيقية.
-iهيالوحدةالتخيلية،وتحققالمعادلة(i^2=-1).
-يُسمىaالجزءالحقيقيللعددالمركب(Re(z)).
-يُسمىbالجزءالتخيليللعددالمركب(Im(z)).
2.تمثيلالأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالأعدادالمركبةبعدةطرق،منها:
-الصورةالجبرية:(z=a+bi)
-الصورةالقطبية:(z=r(\cos\theta+i\sin\theta))
حيثrهوالمقياس(الطول)وθهوالزاوية(الطور).
3.العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
أ)الجمعوالطرح
لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i]
ب)الضرب
يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيعومراعاةأن(i^2=-1):
[(a+bi)\cdot(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]
ج)القسمة
للقسمة،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةiمنالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]
4.خصائصالأعدادالمركبة
- المرافقالمركب:إذاكان(z=a+bi)،فإنمرافقههو(\overline{ z}=a-bi).
- المقياس:(|z|=\sqrt{ a^2+b^2}).
- الزاوية(الطور):(\theta=\tan^{ -1}\left(\frac{ b}{ a}\right)).
5.تطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفي:
-تحليلالدوائرالكهربائية.
-معالجةالإشارات.
-الفيزياءالكمية.
-الرسوماتالحاسوبية.
6.أمثلةتطبيقية
مثال1:احسبناتج((3+2i)+(1-4i)).
الحل:
[(3+1)+(2-4)i=4-2i]
مثال2:أوجدحاصلضرب((1+i)(2-3i)).
الحل:
[1\cdot2+1\cdot(-3i)+i\cdot2+i\cdot(-3i)=2-3i+2i-3i^2=2-i+3=5-i]
7.الخلاصة
الأعدادالمركبةأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالمجالات.فهمهايتطلبمعرفةأساسياتهاوطرقالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.
شرحدرسالأعدادالمركبةهذاالدرسيقدممقدمةشاملةللأعدادالمركبة،وإذاكنتترغبفيتعميقفهمك،يمكنكدراسةالمزيدعنالتمثيلالقطبيونظريةديموافر.
شرحدرسالأعدادالمركبة